dimanche 2 juin 2013

Intervalle: de fluctuation et de confiance

Le bac 2013 contient deux nouvelles notions de mathématiques, tant en S qu'en ES-L ou en STI: les intervalles de fluctuation asymptotique et l'intervalle de confiance, à 95%.

Beaucoup d'élèves ont du mal à s'y retrouver. Quel intervalle choisir ?

Voici quelques indications.

1°) Pour commencer, il est préférable de programmer sa calculatrice pour obtenir rapidement les intervalles en question, sans perdre de précieuses minutes à faire des calculs sans intérêt.

Les programmes suivants sont faits pour les TI-82; 83 etc...

PROGRAM: INTCONF
:Input "F:", F
:Input "N:", N
:Disp F- 1/N^(1/2)
:Disp F+1/N^(1/2)
:Disp "Amplitude:", 2/N^(1/2)


Remarques:  a) Input et Disp (display= afficher en anglais) se trouvent dans PRGM /  E/S (entrée/sortie) ou I/O (IN/OUT)

b) la racine carrée de N s'obtient avec N^(1/2)

Exemple: On donne f = 0,65 et n = 200
le programme donne alors::
0,5792893219...
0,7207106781...

Et son amplitude est: 0,141421... c'est -à-dire:  0,7207106781... - 0,5792893219...

On obtient donc l'intervalle [ 0,579 ;  0,721 ] à 10-3 près: c'est l'intervalle de confiance associé à un sondage de 200 personnes où la fréquence obtenue est de 65%.

"Normalement", il y a donc 95% de chances que la vraie proportion p, que l'on ne connait pas, soit dans cet intervalle.


Maintenant le programme sur l'intervalle de fluctuation asymptotique ( IFA) à 95%

PROGRAM: INTFLUCT
:Input "P:", P
:Input "N:", N
:(P*(1-P)/N)^(1/2)  STO W
:Disp P - 1.96*W
:Disp P + 1.96*W


Remarque: l'instruction STO (store = ranger) s'obtient avec la touche STO, située juste au dessus du ON de la TI.

Quand on appuie sur cette touche, une flèche dirigée vers la droite s'affiche pour indiquer dans quelle variable il faut ranger cette valeur (choisir une lettre de l'alphabet, sauf X, car ça peut générer des conflits)

Cette instruction permet de stocker des valeurs numériques réelles (ou complexes comme 1+4i) dans différentes variables, ici W

(pour les complexes, faire  1+4i  STO Z et demander ensuite Z^5 ou 1/ (1+Z) pour voir...)




2°) Dans un exercice: lequel choisir ?

* En principe celui où il faut calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique est plus long que pour l'intervalle de confiance car il y a plusieurs choses à faire:
* on repère la proportion p (par exemple ce qu'affirme un candidat aux élections, ou un maire, ou le directeur d'une société),
* puis on a réalisé un sondage sur un échantillon de n personnes (c'est le nombre le plus facile à repérer dans l'énoncé),
* sur cet échantillon, X individus correspondent au critère: on obtient donc la fréquence observée f = X / n
* On calcule l'IFA
* on regarde si f est dedans ou pas
* si oui, on valide l'hypothèse (ou on dit qu'on ne peut pas la rejeter), au risque 5%
* si non, on rejette l'hypothèse, toujours avec un risque d'erreur de 5%

Exemple: le directeur d'une grande société affirme que 80% de son personnel est heureux ( c'est p, et on va surement chercher à vérifier ça). Un sondage est réalisé sur 150 employés ( c'est n)
Parmi eux, 108 se disent "heureux" (c'est X).

Peut-on accepter ou contredire l'hypothèse du directeur ? (que 80% du personnel est heureux)

On calcule f = 108/150 = 0,72
On détermine l'IFA ( avec p = 0,8 et = 150) et on obtient: [ 0.735 ; 0.864]

f n'est pas dedans donc on peut rejeter l'hypothèse du directeur (que 80% du personnel est heureux) avec un risque d'erreur de 5% (ou au niveau de confiance 95%: le terme confiance étant mal choisi car on peut penser à l'autre intervalle !).


3°) Conclusion

* Si on a une hypothèse à accepter ou à rejeter, c'est l'IFA
* si l'énoncé est court, qu'il n'y a que n et une valeur connue pour f, c'est l'intervalle de confiance
* si on demande ensuite l'amplitude de l'intervalle c'est forcément l'intervalle de confiance car la formule de son amplitude est simple , comparée à celle de l'IFA = 2 * 1,96* racine de ... etc...!




17 commentaires:

Anonyme a dit…

Bonjour,
J'ai une TI-82 stats.fr
Vous écrivez "->; W" , je ne trouve pas le ";" ni dans prgm ni dans catalogue... Comment faire ???

Anonyme a dit…

Bonjour

En fait, il n'y a pas de point virgule, c'est Blogger qui l'avait rajouté quand j'ai tapé >

il y a donc juste à faire STO puis W
Désolé
Et merci de la remarque
MI

Anonyme a dit…

j'ai un souci avec le programme

Il stock dans la valeur de W (p-1,96...........) ensuite il le réutilise dans le programme.

Je pense qu'il faudrait seulement taper
1,96*(sqrt((p(1-p)/n) et non (p-1,96...........)

Le souci est que dans le display il affiche P-W et P+W

A vérifier svp!!

Anonyme a dit…

Tout à fait exact ! et c'est modifié

Merci
MI

Anonyme a dit…

Excusez moi mais je trouve pas amplitude sur la calculatrice sur la ti82

Anonyme a dit…

Il faut écrire " Amplitude", lettre par lettre, ou alors juste "A" si ça vous parait trop long

Cordialement
MI

Anonyme a dit…

Excuser moi votre programme ne fonctionne pa sa me met erreurs
Je comprend pas

Anonyme a dit…

Sa me donne un nombre négatif ou sa me me met quitter voir
Jai mi sa dans mon programme
Input "F:",F
Input "N:",N
Disp f-1/N^0,5
Disp f+1/N^0,5
Disp : "A":",2/N^0,5
Vous pouvez vérifier pour le programme pck sa met erreurs et dans lintervallede fluctuations le nbre est négatif. Pouriez vous faire sa vite svp jai le bac mardi

Anonyme a dit…

on est bien d'accord que:

* pour input "F:",F
la virgule s'obtient avec la touche virgule située au dessus du 7 et non pas la touche point, comme pour faire 0.5 = 0,5 par exemple

* à la fin de chaque ligne, il faut faire enter et la nouvelle ligne commencera par :

* normalement, il ne doit pas y avoir de différence entre f et F (minuscule et majuscule)

* au lieu de N^0,5, utiliser la racine carrée habituelle, c'est peut être ça qui coince, ou alors la virgule de 0,5 = 0.5


je l'utilise avec mes élèves depuis des mois, ça fonctionne très bien et c'est bien pratique

MI
NB: dites moi si ça marche


Anonyme a dit…

Sa ne fontionne pas
Sa me met erreur quand jmet voir sa me met sur la division jcompren pa

Anonyme a dit…

parfois, les TI buggent assez facilement et elles écrivent ça sans raison.

Il faut les ré-initialiser...
(2nd mem (+touche +) menu 5: puis 2: Réinitialiser)
ça efface tout ce qu'il y a dedans (tous les programmes) et après ça marche, elles sont comme neuves

Mais en général les élèves n'aiment pas trop l'idée de tout effacer...

MI

Anonyme a dit…

Jai tout effacer mais sa ne marche pas sa me montre la barre de division de 2/N^0,5 quan sa me mett erreur

Vil3r Beats a dit…
Ce commentaire a été supprimé par l'auteur.
Anonyme a dit…

Super ce site. Merci beaucoup !

Raiatea Bac a dit…

Merci également pour ce dernier commentaire.

Umer Ehtisham a dit…

Vous etes le meilleur professure ;) grand merci!!!!!!!!!

Raiateabac a dit…

Merci, mais on me le dit tout le temps !
(je plaisante...)
mais pas tellement mes inspecteurs en tout cas.
Dommage

Bonne chance
MI