Intervalle: de fluctuation et de confiance

Le bac 2013 contient deux nouvelles notions de mathématiques, tant en S qu'en ES-L ou en STI: les intervalles de fluctuation asymptotique et l'intervalle de confiance, à 95%.

Beaucoup d'élèves ont du mal à s'y retrouver. Quel intervalle choisir ?

Voici quelques indications.

1°) Pour commencer, il est préférable de programmer sa calculatrice pour obtenir rapidement les intervalles en question, sans perdre de précieuses minutes à faire des calculs sans intérêt.

Les programmes suivants sont faits pour les TI-82; 83 etc...

PROGRAM: INTCONF
:Input "F:", F
:Input "N:", N
:Disp F- 1/N^(1/2)
:Disp F+1/N^(1/2)
:Disp "Amplitude:", 2/N^(1/2)


Remarques:  a) Input et Disp (display= afficher en anglais) se trouvent dans PRGM /  E/S (entrée/sortie) ou I/O (IN/OUT)

b) la racine carrée de N s'obtient avec N^(1/2)

Exemple: On donne f = 0,65 et n = 200
le programme donne alors::
0,5792893219...
0,7207106781...

Et son amplitude est: 0,141421... c'est -à-dire:  0,7207106781... - 0,5792893219...

On obtient donc l'intervalle [ 0,579 ;  0,721 ] à 10-3 près: c'est l'intervalle de confiance associé à un sondage de 200 personnes où la fréquence obtenue est de 65%.

"Normalement", il y a donc 95% de chances que la vraie proportion p, que l'on ne connait pas, soit dans cet intervalle.


Maintenant le programme sur l'intervalle de fluctuation asymptotique ( IFA) à 95%

PROGRAM: INTFLUCT
:Input "P:", P
:Input "N:", N
:(P*(1-P)/N)^(1/2)  STO W
:Disp P - 1.96*W
:Disp P + 1.96*W


Remarque: l'instruction STO (store = ranger) s'obtient avec la touche STO, située juste au dessus du ON de la TI.

Quand on appuie sur cette touche, une flèche dirigée vers la droite s'affiche pour indiquer dans quelle variable il faut ranger cette valeur (choisir une lettre de l'alphabet, sauf X, car ça peut générer des conflits)

Cette instruction permet de stocker des valeurs numériques réelles (ou complexes comme 1+4i) dans différentes variables, ici W

(pour les complexes, faire  1+4i  STO Z et demander ensuite Z^5 ou 1/ (1+Z) pour voir...)

2°) Dans un exercice: lequel choisir ?

* En principe celui où il faut calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique est plus long que pour l'intervalle de confiance car il y a plusieurs choses à faire:
* on repère la proportion p (par exemple ce qu'affirme un candidat aux élections, ou un maire, ou le directeur d'une société),
* puis on a réalisé un sondage sur un échantillon de n personnes (c'est le nombre le plus facile à repérer dans l'énoncé),
* sur cet échantillon, X individus correspondent au critère: on obtient donc la fréquence observée f = X / n
* On calcule l'IFA
* on regarde si f est dedans ou pas
* si oui, on valide l'hypothèse (ou on dit qu'on ne peut pas la rejeter), au risque 5%
* si non, on rejette l'hypothèse, toujours avec un risque d'erreur de 5%

Exemple: le directeur d'une grande société affirme que 80% de son personnel est heureux ( c'est p, et on va surement chercher à vérifier ça). Un sondage est réalisé sur 150 employés ( c'est n)
Parmi eux, 108 se disent "heureux" (c'est X).

Peut-on accepter ou contredire l'hypothèse du directeur ? (que 80% du personnel est heureux)

On calcule f = 108/150 = 0,72
On détermine l'IFA ( avec p = 0,8 et n = 150) et on obtient: [ 0.735 ; 0.864]

f n'est pas dedans donc on peut rejeter l'hypothèse du directeur (que 80% du personnel est heureux) avec un risque d'erreur de 5% (ou au niveau de confiance 95%: le terme confiance étant mal choisi car on peut penser à l'autre intervalle !).


3°) Conclusion

* Si on a une hypothèse à accepter ou à rejeter, c'est l'IFA
* si l'énoncé est court, qu'il n'y a que n et une valeur connue pour f, c'est l'intervalle de confiance
* si on demande ensuite l'amplitude de l'intervalle c'est forcément l'intervalle de confiance car la formule de son amplitude est simple , comparée à celle de l'IFA = 2 * 1,96* racine de ... etc...!

Plus d'infos sur les intervalles de confiance, fluctuation, 
version 2e, 1ère et terminale:

cliquer ici.

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