Mesurons l'altitude d'un avion en vol depuis le sol (Part I)

Aujourd'hui, dimanche 8 septembre 2013,  une sympathique petite activité mathématique faisant appel au célèbre théorème de Thalès, donc accessible aux élèves des niveaux 4eme et 3eme:

... la mesure de l'altitude d'un avion en vol, depuis le sol !

Remarque: les deux avions ci-contre vont atterrir et ont naturellement le droit de voler aussi bas ( Aéroport situé aux Antilles)

Sinon, hormis les hélicos et les avions militaires, il y a des altitudes minimales bien supérieures à utiliser.

En VFR (règles de vol à vue, celle de la majorité des petits avions d'aéroclub), les altitudes minimales à respecter sont les suivantes:

1000 ft = 1000 pieds = 304m soit environ la hauteur de la Tour Eiffel

Pourtant, malgré toutes ces règles élémentaires de sécurité, un joli petit avion d'aéroclub passe pas très loin de votre maison ? Ou bien carrément au dessus ? Chouette ! Faisons des calculs !

Voici comment calculer sa distance et son altitude.

Bien sûr, on pourrait tout simplement faire une photo de l'avion, noter la date et l'heure de passage, et téléphoner à la tour de contrôle (Tél: 600 490 pour celle de Raiatea), afin de leur demander leur avis sur l'altitude de l'aéronef en question.

Mais il y a bien plus fun.

Construisons au préalable un petit instrument de mesure tout simple basé sur le théorème de Thalès.


Matériel: quelques baguettes de bois de bonne qualité, une règle graduée au cm, une équerre, et pour obtenir les photos ou vidéos, un appareil numérique avec une assez bonne définition, genre 5 méga pixels ou plus.

Le principal inconvénient de cette méthode est qu'il faut connaître les dimensions de l'avion en question, notamment sa hauteur, son envergure (distance entre les extrêmités des ailes), ou sa longueur.


Exemples:

* un ULM Tecnam P2002: H = 2,43m et Envergure = 8,61m, Longueur = 6,61m

* Un Piper PA 28 Archer II:  H= 2,20m   Envergure = 10,7 m et Longueur = 7,30m

* un ATR 72 (sera utile pour calibrer l'appareil): H = 7,65m  E = 27m et L = 27,17m

Principe du calcul ci-dessous (version simplifiée pour le moment, désolé pour la qualité, c'est juste un premier "jet"...)

 

Ici, on a pris un avion dont la hauteur (des roues au sommet de l'empennage) fait H= 3m (on doit connaître cette valeur je le rappelle)

 d (delta) est la longueur du bras qui relie l'appareil photo à l'équerre et à la règle.

Ici, d mesure 65 cm soit 0,65m

h est donc en quelque sorte la taille apparente de l'avion vu devant la règle graduée. Avec EF, c'est la seule chose que l'on mesure, à l'aide de la règle graduée.

L'altitude de l'avion est alors tout simplement 3EF/h et sa distance 3d / h = 1,95/h , pour un avion de 3m de haut.  (h étant exprimé en mètres alors que la règle graduée donnera des mm)

Testons l'appareil une première fois

Le point culminant de Bora Bora est le mont Otemanu (727 m), ici vu depuis l'extrémité ouest de l'aérodrome de Raiatea (partie publique)
  
On obtient h = 1,25 cm = 0,0125m et on sait que la distance est de 38 km (Google earth)
le calcul donne Hauteur = 38 000 x 0, 0125 : 0,65 = 731 m

Une erreur de 4m seulement, soit 0,55%,  à 38 km de distance ! Pas mal du tout.


Fin de la première partie.

La seconde partie consistera à calibrer (tester) l'appareil avec des ATR d'Air Tahiti, qui, on n'en doute pas un instant, respectent la réglementation en vigueur.

On verra aussi ses limitations et on remarquera que si l'instrument est de travers ou pas à l'horizontal, il donne à chaque fois une altitude majorée de l'appareil, de sorte que dans la réalité, l'avion vole encore plus bas que ce que donne le calcul

Pour finir, on essayera avec des vrais petits navions quand ils viendront voler par ici...