Evariste Galois: le Rimbaud des mathématiques

Évariste Galois (Bourg-la-Reine, 25 octobre 1811 – Paris, 31 mai 1832)

Oui, vous avez bien lu: 1811 - 1832.

Il n'aura donc vécu qu'une vingtaine d'années.

Mais vingt années intenses, tant sur le plan mathématiques que politique.

Mort en duel à cause d'une jeune fille. Se sachant pas très doué pour les duels, il a passé toute sa dernière nuit à rédiger son "testament mathématiques".




Et comme prévu, le lendemain il est mortellement blessé, puis s'éteint à l'hopital Cochin le jour suivant.

On ne peut tout de même s'empêcher de penser que s'il avait plutôt préféré passer sa soirée à se reposer, ou s'entrainer, dormir un peu, etc, avec un peu de chance il aurait peut être réussi son duel, et aurait alors pu développer davantage sa théorie des groupes et l'algèbre linéaire en général les années suivantes.

Mais l'histoire n'aurait alors peut être pas retenu son nom. Celui d'un génie rebelle et méconnu mort tragiquement bien trop tôt.

Évariste Galois est en effet un mathématicien français qui a fait la découverte, « peut-être la plus grande qui ait jamais été faite dans le domaine de l'algèbre », de ce qui permet de déterminer si une équation algébrique quelconque a des solutions intrinsèques ou pas, c'est-à-dire s'il peut exister une méthode de calcul de cette équation à partir des seuls paramètres de celle-ci.

En substituant à la recherche plus ou moins empirique d'une correspondance de la forme de l'équation avec une méthode connue, l'étude a priori de la forme des solutions de cette équation (la résolubilité), il clôturait vingt cinq siècles d'accumulation de méthodes de résolution des équations, de plus en plus remarquables ou plus générales, et ouvrait la voie à une grande unification des mathématiques.

Inventeur du concept de « groupe formel », il a donné son nom à la théorie de Galois élaborée à partir de sa découverte, qui constitue aujourd'hui un enseignement fondamental de l'année de licence de mathématiques.



En se faisant tuer au cours d'un duel à l'âge de vingt (et un) ans, il laissait un manuscrit élaboré à celui de dix sept, dans lequel il établit qu'une équation algébrique est résoluble par radicaux si et seulement si le groupe de permutation de ses racines a une certaine structure commutative, qu'Emil Artin appelera justement résoluble.

Retrouvé dix ans après sa mort, ce Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux a été considéré par ses successeurs comme le déclencheur du point de vue structural et méthodologique des mathématiques modernes.

Cette nouvelle théorie des équations est en particulier à la base de la théorie de l'information et de la théorie des revêtements, qui a permis de définir algébriquement, par exemple, des objets topologiques tels que la fameuse bande de Moebius ou la bouteille de Klein, et sans laquelle quasiment aucun produit industriel ne serait aujourd'hui numériquement conçu ni produit.

Corollairement, son mémoire Sur la théorie des nombres a initié l'élaboration des corps de Galois, qui jouent par exemple un rôle essentiel en cryptographie.

Les démêlés de Galois avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d'ombre entourant sa mort prématurée, le contraste de celles-ci avec l'importance désormais reconnue à ses travaux, ont contribué à en faire l'incarnation du génie malheureux né « trop tôt dans un monde trop vieux » et d'une jeunesse prometteuse et mal aimée.

Le bicentenaire de sa naissance a été célébré en octobre 2011.


Quand j'étais au collège, en 4e, on voyait déjà les relations d'équivalence et je me rappelle qu'on découvrait alors les vecteurs comme étant des classes d'équivalence de bipoints équipollents...

Puis en seconde, on manipulait les espaces vectoriels & espaces affines associés, les applications linéaires, leurs matrices, les noyaux Ker (f) (vient de l'allemand kernel), puis Im (f) etc...

L'évolution des programmes étant celle que l'on sait, il vous faut maintenant découvrir tout cela d'un seul coup après le bac, en plus bien sûr d'un calcul différentiel et intégral digne de ce nom.

A quoi "servent" donc ces fameux groupes, anneaux, corps, structures, espaces vectoriels, endomorphismes, etc ?

A faire le maximum avec le minimum. On définit un cadre le plus simplifié possible qu'on pourra ensuite immédiatement transposer dans tel ou tel domaine, avec en bonus toutes les conséquences connues engendrées par la situation initiale.

Avec le célèbre " à un isomorphisme près", on passe ainsi d'un espace vectoriel à un autre, tous ayant en commun des propriétés qu'il n'est alors plus nécessaire de redémontrer.

Les applications sont alors nombreuses, il peut s'agir des différentes branches des mathématiques, ou même d'économie, d'informatique, ou cosmologie avec les premiers instants du Big Bang avec les groupes quantiques.

Groupes quantiques & applications en cosmologie.
Rassurez-vous, je n'y comprends rien non plus. Mais c'est beau !

Article entier ici, pour le fun.

J'ai regroupé ici quelques blogs et sites qui pourraient vous aider:

* tout un tas de liens google (cours, exos, corrigés)

* résumés de cours: http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/prepas.htm

* autres: http://www.les-mathematiques.net/pages/lagreg.php

N'oubliez qu'aujourd'hui, vous avez tout de même la chance d'avoir internet, donc d'avoir accès à une énorme quantité d'informations, et la possibilité de poser vos questions sur des forums de maths où des âmes charitables pourront vous aider.
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